兄が亡くなりました。
兄には、妻も子供もいません。
家族構成は、兄と妹である私、そして父親の3人です。
このような場合は、私は、兄の遺産の相続人になれるのでしょうか。

相続人になれるのには、順位がありまして、まず、被相続人に配偶者がある場合は、常に相続人となります。そして、一定の血族が、配偶者と共に相続人となります。

第一順位は、被相続人の子です。代襲相続で孫が相続人になることもあり得ます。

第二順位は、直系尊属です。これは、父や母、それがいない場合は、祖父や祖母です。

そして、第三順位が兄弟姉妹となります。

上記に挙げた相続順位は、第一順位がいれば、第二順位以降の相続人は、相続人にはなれませんし、第二順位の相続人がいれば、第三順位の相続人は、相続人となることができません。

あなたのケースですと、お父さんがおられるようですので、第二順位の直系尊属がいることになり、お父さんがお兄さんの全財産を相続することになります。
第二順位の直系尊属がいる以上、第三順位の兄弟姉妹であるあなたは、残念ながら相続人になれません。

これは補足ですが、もうちょっと長い目でみれば、今のままの家族構成であれば、一旦お父さんへ相続されたお兄さんの財産も含めて、お父さんが亡くなった時に、お父さんの遺産を全てあなたが相続することになりそうです。