私には身寄りが無く、相続人となる人はいません。
たった一つの家族といえば、10年以上一緒に住んでいる、ペットの犬です。
私の死後、ペットが不自由なく生きていけるように、私の財産をペットの犬に譲りたいのですが、そのような事はできるのでしょうか。

人(または法人)以外の動物などは、財産を持つことができません。
そもそも、法律上では動物が動産として、人間の財産として扱われています。

それに、仮にペットが財産を相続してとしても、その財産を使うことはできないですよね。ペットが銀行から預金を下ろして、ホームセンターに行ってペットフードを買うなんて事はできないのです。

ですから、ペットに財産を相続させるというのは、法律的にも、現実的にも無理なのです。

現実的に考えられる方法としては、あなたの友人や施設などに、ペットの世話を負担として、財産を負担付遺贈するという方法が考えられます。

「犬の世話をしてくれるという条件で、あなたに財産を遺贈します」

という遺言を残すのです。
ただし、この方法で負担付遺贈をしたとしても、実際には、ちゃんと犬の世話をしてくれるかどうかというのは、遺贈を受けた人の良心に任せるしかないのが現実です。