遺言を書こうと思っています。
その遺言の中で、相続人ではないある人に、遺贈をしようと思っているのですが、その方も高齢である為、もしかしたら私よりも先に亡くなっているかもしれません。
私より先に、遺贈の相手が死亡していた場合は、その目的物はどのように扱われるのでしょうか。

遺贈には特定遺贈と包括遺贈があります。
「ある土地と建物を遺贈する」など、目的物を指定して遺贈するのが、特定遺贈、「財産の何分の1を遺贈する」というように、割合で遺贈するのが包括遺贈です。
質問のケースですと、「目的物」と書いておられるので、特定遺贈かと思います。

遺贈を指定した場合に、遺言者よりも遺贈の受取人である受遺者が先に亡くなっていた場合どうなるかということですが、これは、遺贈が無かった事になります。

受遺者が死亡していることによって、遺贈はなかったことになり、相続財産に含まれ、相続人の遺産分割の対象になることになります。

もし、このように、受遺者が先に死亡していた場合に、目的物が相続財産に含まれるのが嫌な場合は、遺言の、遺贈の箇所に「もし、受遺者である○○さんが先に亡くなっていた場合は、日本赤十字社に寄付する」などという一文を入れておくという対応策などが考えられます。